3 更进一步的探索(第1/1页)
在上一章中,我们不加解释的引入了一大堆公理。
在这一章中,我将会对它们中的前面几条加以说明。下一章将会说明另外的。
接下来,我们引入两个基本的定义。
定义1.3.1:
集合A,B是相等的,当且仅当(集合A的每个元素都是集合B的元素 并且 集合B的每个元素都是集合A的元素),若集合A,B相等,记作A=B
*此处括号是为了防止层次不明,以后不再单独说明
换句话说:
设A,B为集合,有:
A=B 等价于 (对于每一个x∈A,有x∈B,并且对于每一个y∈B,有y∈A)
比如:
{1,2,3}和{1,2,3}是相等的,它们也与{x∈N|0 而且,集合{1,2,3,3,3,2}和集合{1,2,3}也是相等的,虽然元素重复了,但是,根据定义,它们仍然相等。重复的元素2,3并不改变它们归属于这个集合的状态。不过,我们一般不考虑这种集合。
定义1.3.2:
设A,B为集合,那么,A和B的并集记作A∪B,A∪B由属于A的元素,属于B的元素,同时属于A和B的元素组成,即:
(k∈A∪B) 等价于 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立)
OK,接下来,我们证明一下,在上一章中提出的一个问题(从ZF公理10和3得到公理5),它必须被分成两种情况:
第一种情况:A,B不同时为空集合,证明如下
1 设A,B为集合,且A,B不同时为空集.
2 A,B为对象. (1,ZF公理1)
3 存在集合X={A,B}. (2,ZF公理3)
4 存在集合∪X,且∪X中至少含有一个元素. (1,3,ZF公理10)
5 设k为任意对象,(k∈∪X) 等价于 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立). (4,ZF公理10)
6 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立) 等价于 (k∈A∪B). (并集的定义)
7 (k∈∪X) 等价于 (k∈A∪B). (5,6)
8 对于每一个x∈∪X,有x∈A∪B,并且对于每一个x∈A∪B,有x∈∪X. (7)
9 ∪X=A∪B. (8,集合相等的定义)
10 A∪B存在. (9,4)
第二种情况:A,B均为空集,证明如下
1 设A,B均为空集
2 A∪B=?
3 A∪B存在
在第一种情况中,我们在“."后面的括号里写上了依据,第一种情况下的证明是符合正式证明的格式的。
试着补上第二种情况下证明的依据。
如遇断更,未更新,可到新站www.xunsilu.cc(新丝路文学网)查看最新内容。
在这一章中,我将会对它们中的前面几条加以说明。下一章将会说明另外的。
接下来,我们引入两个基本的定义。
定义1.3.1:
集合A,B是相等的,当且仅当(集合A的每个元素都是集合B的元素 并且 集合B的每个元素都是集合A的元素),若集合A,B相等,记作A=B
*此处括号是为了防止层次不明,以后不再单独说明
换句话说:
设A,B为集合,有:
A=B 等价于 (对于每一个x∈A,有x∈B,并且对于每一个y∈B,有y∈A)
比如:
{1,2,3}和{1,2,3}是相等的,它们也与{x∈N|0 而且,集合{1,2,3,3,3,2}和集合{1,2,3}也是相等的,虽然元素重复了,但是,根据定义,它们仍然相等。重复的元素2,3并不改变它们归属于这个集合的状态。不过,我们一般不考虑这种集合。
定义1.3.2:
设A,B为集合,那么,A和B的并集记作A∪B,A∪B由属于A的元素,属于B的元素,同时属于A和B的元素组成,即:
(k∈A∪B) 等价于 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立)
OK,接下来,我们证明一下,在上一章中提出的一个问题(从ZF公理10和3得到公理5),它必须被分成两种情况:
第一种情况:A,B不同时为空集合,证明如下
1 设A,B为集合,且A,B不同时为空集.
2 A,B为对象. (1,ZF公理1)
3 存在集合X={A,B}. (2,ZF公理3)
4 存在集合∪X,且∪X中至少含有一个元素. (1,3,ZF公理10)
5 设k为任意对象,(k∈∪X) 等价于 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立). (4,ZF公理10)
6 (或者k∈A成立,或者k∈B成立,或者两者都成立) 等价于 (k∈A∪B). (并集的定义)
7 (k∈∪X) 等价于 (k∈A∪B). (5,6)
8 对于每一个x∈∪X,有x∈A∪B,并且对于每一个x∈A∪B,有x∈∪X. (7)
9 ∪X=A∪B. (8,集合相等的定义)
10 A∪B存在. (9,4)
第二种情况:A,B均为空集,证明如下
1 设A,B均为空集
2 A∪B=?
3 A∪B存在
在第一种情况中,我们在“."后面的括号里写上了依据,第一种情况下的证明是符合正式证明的格式的。
试着补上第二种情况下证明的依据。
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